Rumus Matematika (Rumus Kuadratis (Rumus abc) dan Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini )

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

y = 0 \,\!.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

y = ax^2 + bx + c \,\!

dapat dituliskan menjadi

y = a (x - x_1) (x - x_2) \,\!.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \,\!

dan

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,\!.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

    ax^2 + bx + c = 0 \,\!

bagi kedua ruas untuk mendapatkan a = 1

    x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!

Pindahkan \frac{c}{a} ke ruas kanan

    x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \,\!

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

    \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} \,\!

Pindahkan -\frac{b^2}{4ac} ke ruas kanan

    \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} -\frac{c}{a} \,\!

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

    \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \,\!

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

    x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Pindahkan -\frac{b}{2a} ke ruas kanan

    x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

sehingga didapat rumus kuadrat

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}

Diskriminan/determinan

Akar-akar dan nilai D.

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

    b^2 - 4ac,\,\!

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

    Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

    Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

        x = -\frac{b}{2a}.\,\!

    Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

        x_+ = \frac{-b}{2a} + i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )           dan        x_- = \frac{-b}{2a} - i \left ( \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \right )

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (y_1 = ax^2 + bx + c\!) dengan suatu garis mendatar (y_2 = d\!). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

\!

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

    diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara y_1\! dan y_2\!,

    diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara y_1\! dan y_2\!, dan

    diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, y_1\! dan y_2\!.

Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan pul

    REDIRECT [[

    REDIRECT Nama halaman tujuan

]]

y_1 - y_2 = ax^2 + bx + c - d = 0a oleh nilai konstanta kuadrat a:

Harga-harga y    a > 0\!   a < 0\!

x < x_1\!               x_1 < x < x_2\!   x > x_2\!               x < x_1\!               x_1 < x < x_2\!   x > x_2\!

D > 0\!   y > 0\!   y < 0\!   y > 0\!   y < 0\!   y > 0\!   y < 0\!

D = 0\!   y > 0\!   -\!           y > 0\!   y < 0\!   -\!           y < 0\!

D < 0\!   y > 0\!   -\!           y > 0\!   y < 0\!   -\!           y < 0\!

dengan x_1 < x_2 \! merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila x, x_1, x_2\!bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah \Re\ x (nilai riil)-nya.

Geometri

Untuk fungsi kuadrat:

f(x) = x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2), dengan variabel x adalah bilangan riil. koordinat-x dari titik-titik di mana kurva menyentuh sumbu-x, x = −1 dan x = 2, adalah akar-akar dari persamaan kuadrat : x2 − x − 2 = 0.

Akar-akar dari persamaan kuadrat

    ax^2+bx+c=0,\,

adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:

    f(x) = ax^2+bx+c,\,

dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai x\,\! yang memberikan

    f(x) = 0.\,

Jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari f\,\! adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari f\,\! adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.

Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat seperti ini

, dan a, b, c,

Dimana :
x adalah variabel persamaan kuadrat
a adalah koefisien x kuadrat
b adalah koefisien x
c adalah konstanta

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

    1) Mencari faktor

    diuraikan menjadi
    cara pemfaktoran akan lebih mudah bila a = 1
    maka kita bisa menebak x1 dan x2 dengan cara
    a = 1
    b = x1+x2
    c = x1.x2

    2) Memakai Rumus Kuadrat atau Rumus abc


    3) Melengkapkan Kuadrat Sempurna
    Bentuk umum persamaan kuadrat bebentuk kuadrat sempurna adalah :
    dengan q > 0



Menentukan Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jenis akar-akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai deskriminan :


    a. D > 0 Kedua akar nyata dan berlainan,

    b. D = 0
    Kedua akar nyata dan sama,

    c. D <> Kedua akar tidak nyata (imaginer)
    d. dengan
    bilangan kuadrat sempurna, kedua akar rasional.


Untuk menghitung jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat , dapat dicari tanpa terlebih dahulu mencari akar-akarnya.

    Dari rumus dan



    Dapat ditunjukkan bahwa:


Rumus-rumus Akar Persamaan Kuadrat hasil pengembangan, sering sekali muncul di soal UAN SNMPTN atau SPMB


Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan
maka berlaku sifat-sifat berikut ini :

    a. Syarat mempunyai Dua Akar Positif


    b. Syarat mempunyai Dua Akar Negatif

    c. Syarat mempunyai Dua Akar Berlainan Tanda

    d. Syarat mempunyai Dua Akar Berlawanan

    e. Syarat mempunyai kedua akar berkebalikan


Cara menyusun Persamaan kuadrat dari akar-akar x1 dan x2 yang diketahui
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah : 

Posted in: Pelajaran

Ramalan Hari Ini